二次函数y=ax2+c的图象与性质
二次函数y=ax2+c的图象与性质
一.选择题(共3小题)
1.在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
2.抛物线y=2x2﹣4的顶点在( )
A.x轴上 B.y轴上 C.第三象限 D.第四象限
3.关于二次函数y=2x2+3,下列说法中正确的是( )
A.它的开口方向是向下
B.当x<﹣1时,y随x的增大而减小
C.它的顶点坐标是(2,3)
D.当x=0时,y有最大值是3
二.填空题(共3小题)
4.二次函数y=x2﹣1的图象是一条 .
5.抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是 .
6.如图,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C,则线段BC的长为 .
三.解答题(共3小题)
7.在同一直角坐标系xOy内,作出二次函数y=x2和y=x2+1的草图,这两个函数的图象间有什么联系?
8.已知函数式的x范围,求y范围:(可结合草图求解)
(1)已知二次函数y=x2在2<x<3范围内,求y的范围;
(2)已知二次函数y=﹣x2+4在﹣2<x<3范围内,求y的范围.
9.如图,坐标系中有抛物线c:y=x2+m和直线l:y=﹣2x﹣2.
(1)求m取何值时,抛物线c与直线l没有公共点;
(2)变化m,当抛物线c的顶点在直线l上时,求直线l被它截得的线段长.
参考答案
一.选择题(共3小题)
1.在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
【解答】解:当a<0时,二次函数顶点在y轴负半轴,一次函数经过一、二、四象限;
当a>0时,二次函数顶点在y轴正半轴,一次函数经过一、二、三象限.
故选:C.
2.抛物线y=2x2﹣4的顶点在( )
A.x轴上 B.y轴上 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:根据题意知,对称轴x=0,故抛物线y=2x2﹣4的顶点在y轴上.
故选:B.
3.关于二次函数y=2x2+3,下列说法中正确的是( )
A.它的开口方向是向下
B.当x<﹣1时,y随x的增大而减小
C.它的顶点坐标是(2,3)
D.当x=0时,y有最大值是3
【解答】解:A、∵a=2>0,故它的开口方向是向上,故此选项错误;
B、在y轴左侧,y随x的增大而减小,故当x<﹣1时,y随x的增大而减小,正确;
C、它的顶点坐标是(0,3),故此选项错误;
D、当x=0时,y有最小值是3,故此选项错误;
故选:B.
二.填空题(共3小题)
4.二次函数y=x2﹣1的图象是一条 抛物线 .
【解答】解:画出二次函数y=x2﹣1的图象如图:
由图象可知,二次函数y=x2﹣1的图象是一条抛物线;
故答案为:抛物线.
5.抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是 (0,﹣1) .
【解答】解:根据顶点坐标公式,
得顶点横坐标为x==0,
纵坐标为y==﹣1,即(0,﹣1).
故答案为:(0,﹣1).
6.如图,抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C,则线段BC的长为 1 .
【解答】解:∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A,
∴A点坐标为(0,1).
当y=1时,4x2=1,
解得x=±,
∴B点坐标为(﹣,1),C点坐标为(
,1),
∴BC=﹣(﹣
)=1,
故答案为:1.
三.解答题(共3小题)
7.在同一直角坐标系xOy内,作出二次函数y=x2和y=x2+1的草图,这两个函数的图象间有什么联系?
【解答】解:画出函数y=x2和y=x2+1的图象如图所示:
二次函数y=﹣x2的图象向上平移一个单位得到二次函数y=x2+1的图象.
8.已知函数式的x范围,求y范围:(可结合草图求解)
(1)已知二次函数y=x2在2<x<3范围内,求y的范围;
(2)已知二次函数y=﹣x2+4在﹣2<x<3范围内,求y的范围.
【解答】解:(1)y=x2=(x﹣0)2+0;
∴x=0时,该函数取最小值0;
所以2<x<3,y的范围为4<y<9;
(2)y=﹣x2+4=﹣(x﹣0)2+4;
∴x=0时,该函数取最大值4;
所以﹣2<x<3,y的范围为﹣5<y<4.
9.如图,坐标系中有抛物线c:y=x2+m和直线l:y=﹣2x﹣2.
(1)求m取何值时,抛物线c与直线l没有公共点;
(2)变化m,当抛物线c的顶点在直线l上时,求直线l被它截得的线段长.
【解答】解:(1)根据题意得x2+m=﹣2x﹣2,
整理得x2+2x+m+2=0,
因为抛物线c与直线l没有公共点,
所以△=22﹣4(m+2)<0,
解得m>﹣1.
所以当m>﹣1时,抛物线c与直线l没有公共点;
(2)∵抛物线c的顶点在直线l上,
∴抛物线c的顶点为(0,﹣2),
代入解析式得,m=﹣2,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2,
解得
或
,
∴直线l和抛物线的交点为(0,﹣2)和(﹣2,2),
∴直线l被抛物线截得的线段长==2
.
(杨晓春)