二次函数y=ax²+c的图象与性质

一．选择题（共3小题）

1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　）

2．抛物线y=2x²﹣4的顶点在（　　）

A．x轴上     B．y轴上      C．第三象限     D．第四象限

3．关于二次函数y=2x²+3，下列说法中正确的是（　　）

A．它的开口方向是向下

B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小

C．它的顶点坐标是（2，3）

D．当x=0时，y有最大值是3

　二．填空题（共3小题）

4．二次函数y=x²﹣1的图象是一条　   　．

5．抛物线y=2x²﹣1的顶点坐标是　   　．

6．如图，抛物线y=ax²+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x²于点B、C，则线段BC的长为　   　． 

三．解答题（共3小题）

7．在同一直角坐标系xOy内，作出二次函数y=x²和y=x²+1的草图，这两个函数的图象间有什么联系？

8．已知函数式的x范围，求y范围：（可结合草图求解）

（1）已知二次函数y=x²在2＜x＜3范围内，求y的范围；

（2）已知二次函数y=﹣x²+4在﹣2＜x＜3范围内，求y的范围．

9．如图，坐标系中有抛物线c：y=x²+m和直线l：y=﹣2x﹣2．

（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；

（2）变化m，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被它截得的线段长． 

参考答案

一．选择题（共3小题）

1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　）

【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；

当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．

故选：C．

2．抛物线y=2x²﹣4的顶点在（　　）

A．x轴上     B．y轴上      C．第三象限      D．第四象限

【解答】解：根据题意知，对称轴x=0，故抛物线y=2x²﹣4的顶点在y轴上．

故选：B．

3．关于二次函数y=2x²+3，下列说法中正确的是（　　）

A．它的开口方向是向下

B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小

C．它的顶点坐标是（2，3）

D．当x=0时，y有最大值是3

【解答】解：A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误；

B、在y轴左侧，y随x的增大而减小，故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，正确；

C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误；

D、当x=0时，y有最小值是3，故此选项错误；

故选：B．

二．填空题（共3小题）

4．二次函数y=x²﹣1的图象是一条　抛物线　．

【解答】解：画出二次函数y=x²﹣1的图象如图： 

由图象可知，二次函数y=x²﹣1的图象是一条抛物线；

故答案为：抛物线．

5．抛物线y=2x²﹣1的顶点坐标是　（0，﹣1）　．

【解答】解：根据顶点坐标公式，

得顶点横坐标为x==0，

纵坐标为y==﹣1，即（0，﹣1）．

故答案为：（0，﹣1）．

6．如图，抛物线y=ax²+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x²于点B、C，则线段BC的长为　1　．

【解答】解：∵抛物线y=ax²+1与y轴交于点A，

∴A点坐标为（0，1）．

当y=1时，4x²=1，

解得x=±，

∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1），

∴BC=﹣（﹣）=1，

故答案为：1．

三．解答题（共3小题）

7．在同一直角坐标系xOy内，作出二次函数y=x²和y=x²+1的草图，这两个函数的图象间有什么联系？

【解答】解：画出函数y=x²和y=x²+1的图象如图所示：

二次函数y=﹣x²的图象向上平移一个单位得到二次函数y=x²+1的图象．

8．已知函数式的x范围，求y范围：（可结合草图求解）

（1）已知二次函数y=x²在2＜x＜3范围内，求y的范围；

（2）已知二次函数y=﹣x²+4在﹣2＜x＜3范围内，求y的范围．

【解答】解：（1）y=x²=（x﹣0）²+0；

∴x=0时，该函数取最小值0；

所以2＜x＜3，y的范围为4＜y＜9；

（2）y=﹣x²+4=﹣（x﹣0）²+4；

∴x=0时，该函数取最大值4；

所以﹣2＜x＜3，y的范围为﹣5＜y＜4．

9．如图，坐标系中有抛物线c：y=x²+m和直线l：y=﹣2x﹣2．

（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；

（2）变化m，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被它截得的线段长．

【解答】解：（1）根据题意得x²+m=﹣2x﹣2，

整理得x²+2x+m+2=0，

因为抛物线c与直线l没有公共点，

所以△=2²﹣4（m+2）＜0，

解得m＞﹣1．

所以当m＞﹣1时，抛物线c与直线l没有公共点；

（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，

∴抛物线c的顶点为（0，﹣2），

代入解析式得，m=﹣2，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣2，

解得或，

∴直线l和抛物线的交点为（0，﹣2）和（﹣2，2），

∴直线l被抛物线截得的线段长==2．

（杨晓春）